[확률통계] 03. 확률변수의 시행

확률 및 통계, 이상화 교수님의 동영상 강의를 토대로한 내용입니다.

2. RV(확률변수)의 정의

• RV: 각각의 랜덤 결과를 실수에 매핑 x = X(w)
  • ex1) tossing a coin -> X
    • H => 1
    • T => 0
    • P(H)=P(1)=1/2 Probability -> function
    • P(A) -> P(x)
  • ex2) tossing two coin
    • RV: # of heads
    • 0 => {TT} P(0)=P({TT}) =1/4
    • 1 => {HT:TH} P(1)=P({HT,TH}) = 1/2
    • 2 => {HH} p(2)=1/4
    • X(wi) -> xi

{TT} 형식으로 쓰던 경우의 수들을 숫자로 매핑함으로써 함수처럼 표현한다.

• by the conventional notation
  • RV : X, Y, Z
  • a specific value of X: x, y, z

3. Event Defined by RV
   Ax를 event라고 하면, x는 # of heads, w는 경우의 수
   Ax={w|X(w)=x}
   A0={TT}
   A1={HT,TH} => P(A1)=P(1)
   P(Ax) = P(X=x)

   P(a<X<=b) = P(A)
   A={w|a<X(w)<=b}
   P(X<=1) = P({TT,HT,TH})=3/4 -> Fx(1)

4. Distribution Functions(분포 함수)

   • RV X를 완벽하게(이산이든 연속이든 상관없이) 표현하는 함수는 Culmulative Distribution Function(CDF, 누적분포함수)
     Fx(x) = P(X<=x) -> 누적확률
     Fx(x) 의 성질
     1) if x1<x2 -> Fx(x1) <= Fx(x2)
     2) 0<=Fx(x)<=1
     3) Fx(∞)=limit(Fx(x)=1
     4) Fx(-∞)=limit(Fx(x)=0
     5) P(a<X<=b)=Fx(b)-Fx(a)
     6) P(X>a)=1-Fx(a)

5. Discrete RV(이산 확률 변수)
   Discrete하다는 건 non-continuous 하단 것이고, 그의 예로는 integer로 이루어진 것을 들 수 있다.
   이산확률 변수를 표현하는 함수에는 Probability Mass Function(PMF, 확률질량함수)가 있다.

$$Px(x)=pmf(X=x)$$
$$Fx(x)=P(X<=x)=\sum_{i=0}^nPx(xi)$$
RV: # of heads

0 -> Px(0) = 1/4
1 -> Px(1) = 1/2
2 -> Px(2) = 1/4
Fx(1) = P(x<=1)
= Px(0)+Px(1) = 3/4

d(x) = 1(x=0), 0(그 외)
0에서 값이 1/8 -> 1/8d(x)
1에서 값이 3/8 -> 3/8d(x-1)
2에서 값이 3/8 -> 3/8d(x-2)
3에서 값이 1/3 -> 1/8d(x-3)

f(x) = 1/8d(x) + 3/8d(x-1 + 3/8d(x-2) + 1/8d(x-3)