[확률통계] 02. 독립사건과 확률

확률 및 통계, 이상화 교수님의 동영상 강의를 토대로한 내용입니다.

• 보충
  Total Probility

{A1,A2...An} partition of S

$$P(A) = P(A1\cap A) + P(A2\cap A) + ... + (An\cap A)$$
$$\sum_{i=0}^nP(A|Ai)P(Ai)$$

• Independent
  $$P(A|B) = P(A)$$
  $$P(B|A) = P(B)$$
  $$P(A\cap B) = P(A)P(B)$$

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1.10 Combinational Analysis

1. permutation(순열)
   n개의 다른 객체를 일렬로 나열 (나열은 순서를 포함함)
   $$n(n-1)(n-2)... = n!$$
   만약 0개를 나열한다면, 0! = 1
   n개 중에서 r개를 나열할 경우 (n>=r)
   $$n(n-1)(n-2)...(n-r+1) = nPr$$
   $$=\frac{n!}{(n-r)!}$$

2. Group Permutaion
   n = n1 + n2 + n3 일 때.
   10개 공 = (R=5)+(W=3)+(B=2)
   $$\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}$$

3. Circular Permutation(원 순열)
   n개의 다른 객체를 원 모양으로 나열하는 경우
   $$\frac{n!}{n} = (n-1)!$$

4. Combination(조합)
   n개 중 r개를 선택하는 경우
   $$_{n}C_{r} = \frac{_{n}P_{r}}{r!}$$
   $${N\choose r} = \frac{n!}{(n-r)!r!}$$
   n과 m에서 r만큼 선택하는 경우
   $$ {n+m\choose r} = \sum_{k=0}^r {n\choose k} {m\choose r-k}$$

5. Binonial Therom(이항 정리)
   $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k} = \sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k$$
   $$f(x) = (1+x)^n= \sum_{k=1}^n {n\choose k}x^{k}$$
   $$f'(x) = n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k{n\choose k}x^{k-1}$$
   $$f'(1) = n2^{n-1} = \sum_{k=1}^n k{n\choose k}$$
   $$f''(x) = n(n-1)(1+x)^{n-2} = \sum_{k=2}^n k(k-1){n\choose k} x^{k-2}$$
   $$B(n, P) -> {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} , m=np, \sigma=np(1-p)$$

• 멱급수
  등비수열과 등차수열 같이 있는 형태
  $$(-1<x<1일 때)$$
  $$f(x) = 1+2x+3x^2+4x^3+...$$
  $$xf(x) = x+2x^2+3x^3...$$
  $$(1-x)f(x) = 1+x+x^2+x^3... = \frac{1}{(1-x)}$$

  $$g(x)=\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1}{(1-x)}$$
  $$g'(x) = \sum_{k=1}^n kx^{k-1} = f(x) =\frac{1}{(1-x)}'$$

6. Stirling's formula
   팩토리얼의 근사치 계산
   $$ n! \backsim \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n$$

11. Reliability(신뢰도)
    Duration of useful functioning of system
    R(t) probability that a system will be functioning of time t

• Series Connection (직렬 연결)
  ->C1->C2-> ...->Cn->
  $$R_1(t) R_2(t) R_n(t)$$
  assume that all modules are independent
  $$R(t)=R_1(t)R_2(t)...R_n(t) = \prod_{i=1}^n R_i(t)$$

• Parallel Connection
  C1 ->
  C2 -> R
  Cn ->
  R(t) => at least 1 module functioning
  $$1-(1-R_1)(1-R_2)..(1-R_n)$$
  : all not-functioning
  $$1-\prod_{i=1}^n (1-R_i(t))$$